Bài 11 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\)   (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn \({({x_1}{\rm{ -  }}{x_2})^2} = {x_1} - 3{x_2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}a = 1;b =  - \left( {2m - 1} \right);c = {m^2} - 1;\\\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) \\\;\;\;\;= 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 \\\;\;\;\;=  - 4m + 5\end{array}\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow  - 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{4}\)

b) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{({x_1}{\rm{ -  }}{x_2})^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2} \\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} =  - 4m + 5\\ \Rightarrow {x_1} =  - 4m + 5 + 3{x_2}\end{array}\)

Thay \({x_1} =  - 4m + 5 + 3{x_2}\) vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l} - 4m + 5 + 3{x_2} + {x_2} = 2m - 1\\ \Leftrightarrow 4{x_2} = 6m - 6 \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{3}{2}m - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow {x_1} =  - 4m + 5 + 3.\left( {\dfrac{3}{2}m - \dfrac{3}{2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - 4m + 5 + \dfrac{9}{2}m - \dfrac{9}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2}\end{array}\).

Thay \({x_1},{x_2}\)  vào (3) ta có:

\(\left( {\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2}} \right).\left( {\dfrac{3}{2}m - \dfrac{3}{2}} \right) = {m^2} - 1 \\\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}\left( {{m^2} - 1} \right) - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{4}\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow m =  \pm 1\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = -1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.