Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A(1 ; -2 ; -5)\) qua đường thẳng \(∆\) có phương trình \(\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right) \in \Delta \) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \).

Có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2; - 1;2} \right)\) , \(\overrightarrow {AH}  = \left( {2t;1 - t;2t + 5} \right)\)

\(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\) \( \Leftrightarrow 2.2t - 1.\left( {1 - t} \right) + 2.\left( {2t + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4t - 1 + t + 4t + 10 = 0\) \( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\) \( \Rightarrow H\left( { - 1;0; - 2} \right)\)

Vì A' đối xứng với A qua \(\Delta\) nên H là trung điểm của AA'. Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}}\\
{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}}\\
{{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3}\\
{{y_{A'}} = 2.0 - \left( { - 2} \right) = 2}\\
{{z_{A'}} = 2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 5} \right) = 1}
\end{array}} \right.\\
\Rightarrow A'\left( { - 3;2;1} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có thể tìm tọa độ điểm \(H\) như sau:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(△\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA'\).

Xét mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và \((P) ⊥ △\). Khi đó \(H = (P) ⋂ △\).

Vì \(\overrightarrow u (2; -1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(△\) nên \(\overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0\) hay \(2x - y + 2z + 6 = 0\)      (1)

\(H = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right)\), thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: \(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0\)

\( \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow  t = -1\) \( \Rightarrow  H(-1; 0; -2)\).