Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0 và hai điểm A(– 1; 2), B(– 3; 4).

a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆.

b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.

Vì H thuộc ∆ nên H(x; 2x – 1). Ta có: $\overrightarrow{AH}=\left(x+1;2x-3\right)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;2\right)$.

Vì AH vuông góc với ∆ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\Delta }}=0\iff \left(x+1\right).1+\left(2x-3\right).2=0$.

Từ đó suy ra x = 1 nên H(1; 1).

Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'. Suy ra $\left\{\begin{array}{c}{x}_{A\text{'}}=2x_H-x_A=2.1-\left(-1\right)=3\\ y_{A\text{'}}=2y_H-y_A=2.1-2=0\end{array}\right.$. Vậy A'(3; 0).

b)

Ta có: 2 . (– 3) – 4 – 1 = – 11; 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 và (– 11) . (– 5) = 55 > 0 nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.

Vì M thuộc ∆ và A và A' đối xứng nhau qua ∆ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng ∆.

Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và ∆.

Ta có: $\overrightarrow{A\text{'}B}=\left(-6;4\right)$, suy ra $\overrightarrow{n_{A\text{'}B}}=\left(2;3\right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 hay 2x + 3y – 6 = 0.

Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x-y-1=0\\ 2x+3y-6=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{9}{8}\\ y=\frac{5}{4}\end{array}\right.$. Vậy $M\left(\frac{9}{8};\frac{5}{4}\right)$.