Đề bài
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD với AC.
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh
\(\begin{array}{l}2CM = CM + CJ = AC + BC - AB\\2CN = CN + CP = AC + CD - AD\end{array}\)
Xét hiệu \(2\left( {CM - CN} \right)\), chứng minh \(2\left( {CM - CN} \right) = 0 \Rightarrow M \equiv N\).
Lời giải chi tiết
Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.
Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.
Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.
Ta có:
\(2CM = CM + CJ = AC - AM + BC - BJ \)\(\,= AC + BC - \left( {AI + BI} \right) = AC + BC - AB\)
(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Chứng minh tương tự ta có :
\(2CN = CN + CP = AC - AN + CD - DP \)\(\,= AC + CD - \left( {AQ + DQ} \right) = AC + CD - AD\)
(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {CM - CN} \right) = BC + AD - \left( {AB + CD} \right)\\ = BF + CF + AH + DH - AE - BE - CG - DG\\ = \left( {BF - BE} \right) + \left( {CF - CG} \right) + \left( {AH - AE} \right) + \left( {DH - DG} \right)\\ = 0\end{array}\)
(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N\).
Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.
Bài 3. Phân bố dân cư và các loại hình quần cư
Bài 10
Đề thi vào 10 môn Văn Hà Nội
Đề thi vào 10 môn Toán Cần Thơ
Đề ôn tập học kì 1 – Có đáp án và lời giải