Bài 13 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) có các dây \(AB\) và \(CD\) bằng nhau, các tia \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(E\) nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:

a) \(EH = EK\)

b) \(EA = EC\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng các tính chất sau: Trong một đường tròn

+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. 

b) Quy tắc cộng đoạn thẳng: Nếu I nằm giữa A và B thì IA + IB = AB.

Lời giải chi tiết

a) Nối OE. 

Vì \(HA=HB\)  nên  \(OH\perp AB\) (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Vì \(KC=KD\)  nên  \(OK\perp CD\). (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà \(AB=CD\) nên \(OH=OK\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét \(\Delta HOE\) và \(\Delta KOE\) có:

\(OH=OK\) 

\(EO\) chung

\(\widehat{EHO}=\widehat{EKO}=90^0\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta HOE=\Delta KOE\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\) \(EH=EK (1)\) ( 2 cạnh tương ứng)

b) Vì \(AB=CD\) nên \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}\) hay \(AH=KC\)  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(EH+HA=EK+KC\)  

hay  \(EA=EC.\)