PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 1

Bài 14 trang 77 sgk Toán 9 - tập 1

Đề bài

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \(\alpha\) tùy ý, ta có:

a) \(\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha};\)   \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\)         \(\tan \alpha . \cot \alpha =1\); 

b) \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) 

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

\(\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};\)         \(\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}\);

\(\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề};\)             \(\cot \alpha =\dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ đối}.\)

+) Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), khi đó: 

            \(BC^2=AB^2+AC^2\) 

Lời giải chi tiết

 

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{ACB}=\alpha\).

+) \(\Delta{ABC}\), vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

               \(\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}\),  \(\cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}\)

              \(\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}\),    \(\cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}\).

* Chứng minh \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

   \(VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT\)

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh \( \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 

   \(VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT\)

* Chứng minh \(\tan \alpha . \cot \alpha =1\).

Ta có: \(VT=\tan \alpha . \cot \alpha \)

                   \(= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=1=VP\)

b) \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), áp dụng định lí Pytago, ta được:

\(BC^2=AC^2+AB^2\)   (1)

Xét \(\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha \)

\(\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1 \) 

Như vậy \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) (điều phải chứng minh) 

Nhận xét: Ba hệ thức:

\(\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\);  \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) và  \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2}  \alpha =1\) là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved