Bài 15 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn tâm O chọn các điểm A, B, C sao cho sđ cung AB = sđ cung AC\( = {120^o}\) (A nằm giữa B và C). Đường đi qua trung điểm D, E lần lượt của hai cung AB và AC cắt các dây AB, AC lần lượt tại P và Q.

a) Chứng minh tam giác APQ là tam giác đều.

b) Chứng minh \(DP = \dfrac{1}{2}PQ = QE\)

Lời giải chi tiết

a) D là trung điểm của cung  và \(OD \bot AB\) tại P (đường thẳng đi qua điểm chính giữa của 1 dây thì vuông góc với dây căng cung ấy).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\widehat {AOE} = \widehat {COE} = {60^0}\) và \(OE \bot AC\) tại Q.

Xét tứ giác OPAQ có: \(\widehat {OPA} + \widehat {OQA} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OPAQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

\( \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {AOQ} = {60^0};\)\(\,\,\widehat {AQP} = \widehat {AOP} = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau).

Xét tam giác APQ có: \(\widehat {APQ} = \widehat {AQP} = {60^0} \Rightarrow \Delta APQ\) là tam giác đều.

b)  Xét tam giác OAD có \(OA = OD = R;\,\,\widehat {AOD} = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta OAD\) đều.

\( \Rightarrow \) Đường cao AP đồng thời là trung tuyến \( \Rightarrow PD = \dfrac{1}{2}OD\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(QE = \dfrac{1}{2}OE\).

Mà \(OD = OE \Rightarrow PD = QE = \dfrac{1}{2}OD\).

Xét tam giác AOD và tam giác AQP có:

AD = AP; AO = AQ; \(\widehat {OAD} = \widehat {POQ} = {60^0}\).

\( \Rightarrow \Delta AOD = \Delta AQP\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow OD = PQ\).

Vậy \(PD = QE = \dfrac{1}{2}PQ\,\,\left( {dpcm} \right)\).