Trong không gian Oxyz cho tứ diện OABC với A(a ; 0 ; 0), ((0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c), a, b, c> 0.
LG 1
Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(A{B^2} = {a^2} + {b^2},B{C^2} = {b^2} + {c^2},C{A^2} = {c^2} + {a^2}\)
\( \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} - C{A^2} = 2{b^2} > 0 \)
\(\Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > C{A^2} \Rightarrow \) \(\widehat B\) nhọn.
Tương tự, ta suy ra các góc \(\widehat A,\widehat C\) nhọn.
LG 2
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tâm \(I({a \over 2};{b \over 2};{c \over 2}),\) bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
LG 3
Kẻ OH vuông góc với mp(ABC), H \( \in \) mp(ABC). Tìm toạ độ điểm H theo a, b, c.
Lời giải chi tiết:
Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mp(ABC) có phương trình là
\(\left\{ \matrix{ x = {1 \over a}t \hfill \cr y = {1 \over b}t \hfill \cr z = {1 \over c}t. \hfill \cr} \right.\)
Suy ra tọc độ giao điểm H của đường thẳng d với mp(ABC) là
\(H = \left( {{{a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)
LG 4
Xác định toạ độ điểm O' đối xứng với điểm O qua mp(ABC).
Lời giải chi tiết:
Vì H là trung điểm của OO’ nên \(\overrightarrow {OO'} = 2\overrightarrow {OH} ,\) suy ra
\(O' = \left( {{{2a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)
LG 5
Kí hiệu \({\rm{S }} = {\rm{ }}{S_{ABC}},{\rm{ }}{S_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{OAB}},{\rm{ }}{S_2} = {\rm{ }}{S_{OBC}},{\rm{ }}{S_3} = {\rm{ }}{S_{OCA}}.\)
Chứng minh \({S^2} = {\rm{ }}S_1^2{\rm{ }} + {\rm{ }}S_2^2{\rm{ }} + S_3^2.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \({S_1} = {S_{OAB}} = {1 \over 2}ab,{S_2} = {S_{OBC}} = {1 \over 2}ab,\)
\({S_3} = {S_{OCA}} = {1 \over 2}ca.\)
\( \Rightarrow S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right).\)
Mặt khác, \({V_{OABC}} = d(O,(ABC)) = {{abc} \over {\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\)
Nên \({1 \over {36}}{a^2}{b^2}{c^2} = {1 \over 9}{S^2}.O{H^2}\)
\( \Rightarrow {S^2} = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2\) (đpcm).
LG 6
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
mp (OMN) \( \bot \) mp(OMP)\( \Leftrightarrow {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {{c^2}}}.\)
Lời giải chi tiết:
M là trung điểm của AB nên \(M = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right).\)
N là trung điểm của BC nên \(N = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {ON} = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right).\)
P là trung điểm của CA nên \(P = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OP} = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right).\)
Các mặt phẳng (OMN) và (OMP) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{n_{(OMN)}}} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {{{bc} \over 4};{{ - ac} \over 4};{{ab} \over 4}} \right), \cr & \overrightarrow {{n_{(OMP)}}} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OP} } \right] = \left( {{{bc} \over 4}; - {{ac} \over 4}; - {{ab} \over 4}} \right). \cr} \)
Do đó \(mp(OMN) \bot mp(OMP) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(OMN)}}} .\overrightarrow {{n_{(OMP)}}} = 0\)
\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} \Leftrightarrow {1 \over {{c^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}}\) (đpcm).
LG 7
Chứng minh rằng với mọi điểm P trên mp(ABC), ta đều có :
\({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{H{P^2}} \over {H{O^2}}} + 2.\)
Lời giải chi tiết:
\(P({x_0};{y_0};{z_0}) \in mp(ABC) \Leftrightarrow {{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c} = 1.\)
\({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} = {{{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} = {{{x_0}^2 + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1 \)
\(= {{O{P^2}} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1.\)
Tương tự, \({{B{P^2}} \over {B{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{b^2}}} - {{2{y_0}} \over b} + 1,{{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{c^2}}} - {{2{z_0}} \over c} + 1\)
Suy ra
\(\eqalign{ & {{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}}\cr& = O{P^2}\left( {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \right)\cr&\;\;\;\;\; - 2\left( {{{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c}} \right) + 3 \cr & = O{P^2}.{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}{c^2}}} + 1 \cr & = {{O{P^2}} \over {O{H^2}}} + 1 = {{H{P^2} + O{H^2}} \over {O{H^2}}} + 1 \cr & = {{H{P^2}} \over {O{H^2}}} + 2(dpcm). \cr} \)
Chương 4. POLIME VÀ VẬT LIỆU POLIME
CHƯƠNG III. DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Chương 5. Sóng ánh sáng
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) – Chương 8 – Hóa học 12
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) – Chương 7 – Hóa học 12
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau