Bài 17 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A{B^2} = {a^2} + {b^2},B{C^2} = {b^2} + {c^2},C{A^2} = {c^2} + {a^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} - C{A^2} = 2{b^2} > 0 \)

\(\Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > C{A^2} \Rightarrow \) \(\widehat B\) nhọn.

Tương tự, ta suy ra các góc \(\widehat A,\widehat C\) nhọn.

Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tâm \(I({a \over 2};{b \over 2};{c \over 2}),\) bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)

Kẻ OH vuông góc với mp(ABC), H \( \in \) mp(ABC). Tìm toạ độ điểm H theo a, b, c.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)

Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mp(ABC) có phương trình là

\(\left\{ \matrix{  x = {1 \over a}t \hfill \cr  y = {1 \over b}t \hfill \cr  z = {1 \over c}t. \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra tọc độ giao điểm H của đường thẳng d với mp(ABC) là

\(H = \left( {{{a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)

Xác định toạ độ điểm O' đối xứng với điểm O qua mp(ABC).

Lời giải chi tiết:

Vì H là trung điểm của OO’ nên \(\overrightarrow {OO'}  = 2\overrightarrow {OH} ,\) suy ra

\(O' = \left( {{{2a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)

Kí hiệu \({\rm{S }} = {\rm{ }}{S_{ABC}},{\rm{ }}{S_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{OAB}},{\rm{ }}{S_2} = {\rm{ }}{S_{OBC}},{\rm{ }}{S_3} = {\rm{ }}{S_{OCA}}.\)

Chứng minh \({S^2} = {\rm{ }}S_1^2{\rm{ }} + {\rm{ }}S_2^2{\rm{ }} + S_3^2.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \({S_1} = {S_{OAB}} = {1 \over 2}ab,{S_2} = {S_{OBC}} = {1 \over 2}ab,\)

\({S_3} = {S_{OCA}} = {1 \over 2}ca.\)

\( \Rightarrow S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right).\)

Mặt khác, \({V_{OABC}} = d(O,(ABC)) = {{abc} \over {\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\)

Nên \({1 \over {36}}{a^2}{b^2}{c^2} = {1 \over 9}{S^2}.O{H^2}\)

\( \Rightarrow {S^2} = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2\) (đpcm).

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. Chứng minh rằng :

mp (OMN) \( \bot \) mp(OMP)\( \Leftrightarrow {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {{c^2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của AB nên \(M = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right).\)

N là trung điểm của BC nên \(N = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {ON}  = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right).\)

P là trung điểm của CA nên \(P = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OP}  = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right).\)

Các mặt phẳng (OMN) và (OMP) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{n_{(OMN)}}}  = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {{{bc} \over 4};{{ - ac} \over 4};{{ab} \over 4}} \right),  \cr  & \overrightarrow {{n_{(OMP)}}}  = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OP} } \right] = \left( {{{bc} \over 4}; - {{ac} \over 4}; - {{ab} \over 4}} \right). \cr} \)

Do đó \(mp(OMN) \bot mp(OMP) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(OMN)}}} .\overrightarrow {{n_{(OMP)}}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} \Leftrightarrow {1 \over {{c^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}}\) (đpcm).

Chứng minh rằng với mọi điểm P trên mp(ABC), ta đều có :

                 \({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{H{P^2}} \over {H{O^2}}} + 2.\)

Lời giải chi tiết:

\(P({x_0};{y_0};{z_0}) \in mp(ABC) \Leftrightarrow {{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c} = 1.\)

\({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} = {{{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} = {{{x_0}^2 + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1 \)

\(= {{O{P^2}} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1.\)

Tương tự, \({{B{P^2}} \over {B{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{b^2}}} - {{2{y_0}} \over b} + 1,{{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{c^2}}} - {{2{z_0}} \over c} + 1\)

Suy ra

\(\eqalign{  & {{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}}\cr& = O{P^2}\left( {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \right)\cr&\;\;\;\;\; - 2\left( {{{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c}} \right) + 3  \cr  &  = O{P^2}.{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}{c^2}}} + 1  \cr  &  = {{O{P^2}} \over {O{H^2}}} + 1 = {{H{P^2} + O{H^2}} \over {O{H^2}}} + 1  \cr  &  = {{H{P^2}} \over {O{H^2}}} + 2(dpcm). \cr} \)