Bài 17 trang 51 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x + 1\) và \(y = -x + 3\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Hai đường thẳng \(y = x + 1\) và \( y = -x + 3\) cắt nhau tại \(C\) và cắt trục \(Ox\) theo thứ tự tại \(A\) và \(B\). Tìm tọa độ của các điểm \(A,\ B,\ C\). 

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

b) +) Đồ thị hàm số \(y=ax\) và \(y=a'x+b'\) cắt nhau tại \(A\) thì hoành độ điểm \(A\) là nghiệm của phương trình: \(ax=a'x+b'.\) Giải phương trình tìm \(x\), rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm \(A\).

c) +) Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(C_{\Delta{ABC}}=AB+BC+AC\).

+) Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.h.a\)

trong đó: \(h\) là độ dài đường cao, \(a\) là độ dài cạnh ứng với đường cao.

+) Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) khi đó:

           \(BC^2=AC^2+AC^2\).

Lời giải chi tiết

a) Xem hình dưới đây:

+) Hàm số \(y=x+1\):

Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow M(0; 1)\)

Cho \(y=0 \Rightarrow 0=x+1 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow P(-1; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y=x+1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(P(-1; 0)\) và \(M(0;1)\).

+) Hàm số \(y=-x+3\)

Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+3 =3 \Rightarrow N(0; 3)\)

Cho \(y=0 \Rightarrow 0=-x+3 \Rightarrow x=3  \Rightarrow Q(3; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y=-x+3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(Q(3; 0)\) và \(N(0; 3)\). 

Ta có hình vẽ sau:

b)

+) \(C\) là giao điểm của \(y=x+1\) và \(y=-x+3\) nên hoành độ của \(C\) là nghiệm của phương trình:

\(x+1=-x+3\)

\(\Leftrightarrow x+x=3-1\)

\(\Leftrightarrow 2x=2\)

\(\Leftrightarrow x=1\).

Tung độ của \(C\) là: \(y=1+1=2\).

Vậy \(C(1; 2)\).

+) \(A\) là giao điểm của \(y=x+1\) và trục hoành \(Ox:\, y=0\) nên hoành độ của \(A\) là:

\(x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(A(-1; 0)  \equiv  P\).

+) \(B\) là giao điểm của \(y=-x+3\) và trục hoành \(Ox:\, y=0\) nên hoành độ điểm \(B\) là:

\(-x+3=0\)

\(\Leftrightarrow -x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \( B(3; 0) \equiv Q.\)

c)

Ta có: \(AB=3+1=4,\)

+) Áp dụng định lí Py- ta-go trong tam giác HAC và HBC, ta tính được:

        \(AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\)

        \(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\)

Do đó chu vi của tam giác \(ABC\) là:

        \(AB+BC+AC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}(cm)\)

+) Ta có: \(BC^2+AC^2=(2\sqrt 2)^2+(2\sqrt 2)^2\)\(=8+8=16=4^2=AB^2\)

Nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\). (Định lí Pytago đảo)

+) Diện tích của tam giác \(ABC\) là:

\(S=\dfrac{1}{2}.AC.BC=\dfrac{1}{2}.2\sqrt 2.2\sqrt 2=4(cm^2)\)