Bài 17 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu cạnh đáy của hình chóp là a, chiều cao là h, thể tích khối chóp là V, diện tích toàn phần là Stp thì \(r = {{3V} \over {{S_{tp}}}}\), tức là \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\). Vậy Stp nhỏ nhất khi và chỉ khi V nhỏ nhất.

Mặt khác, cũng từ hệ thức \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\), ta có hệ thức liên hệ giữa a, h và r là

\(\eqalign{  & r = {{ah} \over {a + \sqrt {{a^2} + 12{h^2}} }}\;\;\;\;(1)  \cr  & \left( {V = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{\sqrt 3 } \over {12}}{a^2}.h} \right). \cr} \)

Gọi M là trung diểm của BC và đặt \(\widehat {SMH}\) =\(\varphi \)  (đó là góc giữa mp(SBC) và mp(ABC), cũng là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp). Khi ấy

\(h = {{a\sqrt 3 } \over 6}\tan \varphi \;\;\;\;(2)\)

Thay (2) vào (1), ta có \(a = {{6r(\cos \varphi  + 1)} \over {\sqrt 3 \sin \varphi }},\) từ đó thay vào (2), ta có \(h = {{r(\cos \varphi  + 1)} \over {\cos \varphi }}\)

Suy ra \({a^2} = 12{r^2}{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }},\)

Vậy

 \(\eqalign{   V& = {{\sqrt 3 } \over {12}}.12{r^2}.{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.r.{{1 + \cos \varphi } \over {\cos \varphi }}  \cr  &  = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + \cos \varphi )}^2}} \over {{\rm{cos}}\varphi {\rm{(1 - cos}}\varphi {\rm{)}}}} = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}} \cr} \)

với \(0<t=cos\varphi  <1\).

Xét hàm số \(f(t) = {{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}},0 < t < 1,\) thì V nhỏ nhất khi và chỉ khi f(t) nhỏ nhất.

Ta có:

\(\eqalign{
 f'(t) &= {{2\left( {1 + t} \right)t\left( {1 - t} \right) - {{\left( {1 + t} \right)}^2}\left( {1 - 2t} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr 
& = {{2\left( {t - {t^3}} \right) - \left( {1 - 3{t^2} - 2{t^3}} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr 
& = {{3{t^2} + 2t - 1} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr} \)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}.\)

Xét bảng biến thiên sau

Vậy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t = {1 \over 3}\), tức là \(\cos \varphi  = {1 \over 3}.\)

Khi đó h=4r, \(\tan \varphi  = 2\sqrt 2 ,\) từ đó \(a = 2r\sqrt 6 .\)

Vậy khi \(a = 2r\sqrt 6 \), \(h=4r\) thì diện tích toàn phần của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất.

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi