Bài 18 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung  sao cho sđ , sđ và sđ

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Lời giải chi tiết

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD

\( \Rightarrow OE \bot AB;\,\,OF \bot CD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tam giác OAB có \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow OE\) là phân giác của \(\widehat {AOB} \Rightarrow \widehat {BOE} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\)

Tương tự ta có \(\widehat {COF} = \dfrac{1}{2}\widehat {COD} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {EOF} = \widehat {BOE} + \widehat {BOC} + \widehat {COF} \)\(\,= {30^0} + {90^0} = {60^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow E;O;F\) thẳng hàng \( \Rightarrow EF \bot AB;\,\,EF \bot CD \Rightarrow AB//CD\)\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang.

=>Cung AD = cung BC(hai cung giữa hai dây song song bằng nhau)

\( \Rightarrow cung\,AD + cung\,AB = cung\,BC + cung\,AB \) \(\Rightarrow cung\,BD = cung\,AC\)

\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)  (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Vậy ABCD là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau).

b) Gọi \(I = AC \cap BD \Rightarrow \widehat {BIC}\) là góc ở đỉnh ở bên trong đường tròn.

\( \Rightarrow \widehat {BIC} = \dfrac{{sdcung\,BC + sdcung\,AD}}{2} \)\(\,= \dfrac{{2sdcung\,BC}}{2} = sdcung\,BC = \widehat {BOC} = {90^0}\).

Vậy \(AC \bot BD\) tại I.

c) Xét tam giác OAB có : \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = R\\\widehat {AOB} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta OAB\) đều \( \Rightarrow AB = R\).

Xét tam giác vuông OBC có: \(O{B^2} + O{C^2} = B{C^2}\) (định lí Pytago)

\( \Rightarrow {R^2} + {R^2} = B{C^2}\)

\(\Leftrightarrow B{C^2} = 2{R^2} \Rightarrow BC = R\sqrt 2  = AD\).

Xét tam giác vuông OCF có: \(CF = OC.\sin \widehat {COF} = R.\sin {60^0} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow CD = 2CF = 2\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \).