Bài 18 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

a) Chứng minh \(AO \bot BC\) .

b) Giả sử \(AB = R\sqrt 3 \), AO cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại I. Chứng minh tam giác ABC đều và tính độ dài AH.

c) Vẽ dây IE // AC, IF // AB (E, F là các điểm trên đường tròn O). Chứng minh tam giác IEF cân.

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC cân tại A\( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của BC.

Vì \(OB = OC = R \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của BC.

\( \Rightarrow AO\) là trung trực của BC \( \Rightarrow AO \bot BC\).

b) Xét tam giác ABI có \(BO = \dfrac{1}{2}AI \Rightarrow \Delta ABI\) vuông tại B (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông ABI có: \(B{I^2} = A{I^2} - A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {\left( {R\sqrt 3 } \right)^2} - {R^2} \)

\(\Rightarrow BI = R\) (Định lí Pytago).

Tam giác ABC cân tại A có \(AO \bot BC \Rightarrow AI \bot BC\) tại H và H là trung điểm của BC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABI có :

\(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{I^2}}} = \dfrac{1}{{3{R^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}} = \dfrac{4}{{3{R^2}}}\)

\(\Rightarrow BH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

Vì H là trung điểm của BC\( \Rightarrow BC = 2BH = R\sqrt 3  \Rightarrow \Delta ABC\) có \(AB = AC = BC = R\sqrt 3  \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {ABH} = {60^0}\).

Xét tam giác vuông ABH có : \(AH = AB.\sin {60^0} = R\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\).

c) Ta có \(CO = \dfrac{1}{2}AI \Rightarrow \Delta ACI\)vuông tại C (Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACI có :

\(CI = \sqrt {A{I^2} - A{C^2}}  \)\(\;= \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt {{R^2}}  = R\)

 \( \Rightarrow BI = CI = R \Rightarrow cung\,BI = cung\,CI\)

Vì IE // AC \( \Rightarrow cung\,AE = cung\,CI\). Vì IF // AB \( \Rightarrow cung\,AF = cung\,BI\)

Do đó \(cung\,AE = cung\,AF \Rightarrow cung\,IE = cung\,IF\)

\(\Rightarrow IE = IF \Rightarrow \Delta IEF\) cân tại I.