Bài 1.89 trang 29 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

$y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}$$y = {{{x^2} - 2x - 3} \over {x - 2}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2}$$y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x - \frac{3}{{x - 2}}$

+) TXĐ: $D=R\setminus \left\{2\right\}$$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

+) Chiều biến thiên:

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=-\infty ,\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=+\infty$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  + \infty$ nên TCĐ $x=2$$x = 2$.

$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\left(y-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\left(-\frac{3}{x-2}\right)=0$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0$ nên TCX: $y=x$$y = x$.

Ta có:

$y^{\prime }=1+\frac{3}{{\left(x-2\right)}^2}>0,\forall x\in D$$y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$$\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left(2;+\infty \right)$$\left( {2; + \infty } \right)$ nên không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng y = m – x cắt đường cong (C) tại hai điểm A và B.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{c}\frac{x^2-2x-3}{x-2}=m-x\\ \Rightarrow x^2-2x-3=\left(m-x\right)\left(x-2\right)\\ \iff x^2-2x-3=-x^2+mx+2x-2m\\ \iff 2x^2-\left(m+4\right)x+2m-3=0(\ast )\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = m - x\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = \left( {m - x} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 =  - {x^2} + mx + 2x - 2m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 2m - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm A, B nếu và chỉ nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2

 $\begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}{\left(m+4\right)}^2-8\left(2m-3\right)>0\\ {2.2}^2-\left(m+4\right).2+2m-3\ne 0\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{c}{m}^2-8m+40>0\left(dung\right)\\ -3\ne 0\left(dung\right)\end{array} \end{array}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8\left( {2m - 3} \right) > 0\\{2.2^2} - \left( {m + 4} \right).2 + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 40 > 0\,\,\,\left( {dung} \right)\\ - 3 \ne 0\,\,\,\left( {dung} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 2.Với mọi $m\in R$$m \in R$, đường thẳng đã cho đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.  

Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Với mọi thì đường thẳng luôn cắt (C ) tại hai điểm $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$$A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ với $x_1,x_2$${x_1},{x_2}$ thỏa mãn (*).

Ta có:

$\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{m+4}{2}}{2}=\frac{m+4}{4}\\ \Rightarrow m+4=4x_M\Rightarrow m=4x_M-4\\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{m-x_1+m-x_2}{2}\\ =\frac{2m-\left(x_1+x_2\right)}{2}=\frac{2m-\frac{m+4}{2}}{2}\\ =\frac{3m-4}{4}=\frac{3\left(4x_M-4\right)-4}{4}\\ =\frac{12x_M-16}{4}=3x_M-4\\ \Rightarrow y_M=3x_M-4\end{array}$$\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{\frac{{m + 4}}{2}}}{2} = \frac{{m + 4}}{4}\\ \Rightarrow m + 4 = 4{x_M} \Rightarrow m = 4{x_M} - 4\\{y_M} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{m - {x_1} + m - {x_2}}}{2}\\ = \frac{{2m - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2} = \frac{{2m - \frac{{m + 4}}{2}}}{2}\\ = \frac{{3m - 4}}{4} = \frac{{3\left( {4{x_M} - 4} \right) - 4}}{4}\\ = \frac{{12{x_M} - 16}}{4} = 3{x_M} - 4\\ \Rightarrow {y_M} = 3{x_M} - 4\end{array}$

Vậy, tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi là đường thẳng y = 3x – 4