Bài 19 trang 170 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(Bx \bot AB\) và \(Cy \bot AC.\)  Gọi M là giao điểm của Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta ACM.\)

b) Chứng minh rằng \(AM \bot BC.\)

c) Kẻ \(BN \bot C(N \in AC),\)   gọi I là giao điểm của BN với AM. Chứng minh rằng tam giác BIM cân.

d) Chứng minh rằng \(CI \bot AB.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABM vuông tại B và tam giác ACM vuông tại C có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AM là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta ABM = \Delta ACM\)  (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Xét tam giác BEM và CEM có:

EM là cạnh chung.

\(\eqalign{  & \widehat {EMB} = \widehat {EMC}(\Delta ABM = \Delta ACM)  \cr  & BM = CM(\Delta ABM = \Delta ACM) \cr} \)

Do đó: \(\Delta BEM = \Delta CEM(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BEM} = \widehat {CEM}\)

Mà \(\widehat {BEM} + \widehat {CEM} = {180^0}\)   (hai góc kề bù).

Nên \(\widehat {BEM} + \widehat {BEM} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {BEM} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BEM} = {90^0}\)

Vậy \(AM \bot BC.\)

c) Ta có: \(BN \bot AC(gt);MC \bot AC(gt)\)

\(\Rightarrow BN//MC \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {IMC}\)   (hai góc so le trong).

Mà \(\widehat {IMC} = \widehat {BMI}(\Delta ABM = \Delta ACM) \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {BMI}.\)

Do đó: Tam giác BIM cân tại B.

d) Xét tam giác BIM và CIM ta có:

BM = CM \((\Delta ABM = \Delta ACM)\)

IM là cạnh chung.

\(\widehat {BMI} = \widehat {CMI}(\Delta ABM = \Delta ACM)\)

Do đó: \(\Delta BIM = \Delta CIM(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {CIM}.\)

Mà \(\widehat {BIM} = \widehat {BMI}\)   (chứng minh trên). Do đó: \(\widehat {CIM} = \widehat {BMI}.\)

Mà hai góc CIM và BMI so le trong. Do đó CI // MB.

Mà \(MB \bot AB(gt) \Rightarrow CI \bot AB.\)