Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

$y=\dfrac{2-x}{9-x^2}$

Phương pháp giải:

- Tìm tiệm cận ngang: 

 + Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) $

 + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$, ta kết luận: $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

- Tìm tiệm cận đứng:

 + Tìm TXĐ

 + Tính $\mathop {\lim } f\left( x \right)$ khi $x \to {x_0} ^+$ và $x \to {x_0} ^-$ với $ x_0$ là giá trị làm hàm số không xác định.

Nếu $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \end{array}$

Ta kết luận: Đường thẳng $x=x_0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^+}\dfrac{2-x}{9-x^2}=+\infty$ nên đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{2-x}{9-x^2}=+\infty$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2-x}{9-x^2}=0$ nên đường thẳng: $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$y=\dfrac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 1;\dfrac{3}{5}} \right\}$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}$

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: $x=-1;x=\dfrac{3}{5}$.

Vì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \dfrac{1}{5};$ $ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \dfrac{1}{5}$

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{5}$.

$y=\dfrac{x^2-3x+2}{x+1}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}$$=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\dfrac{x^2(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}})}{x(1+\dfrac{1}{x})}=-\infty$ và $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$y=\dfrac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}$

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi: $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.$

$ \Rightarrow D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$$=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{x}(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}})}=1$ nên đường thẳng $y = 1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.