Bài 2 trang 31 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Tính :

a) \(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt {14 + 6\sqrt 5 } \);     

b) \(\left( {3\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\sqrt {28 - 12\sqrt 5 } \);

c) \(\sqrt {13 - \sqrt {160} }  - \sqrt {53 + 4\sqrt {60} } \);   

d) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } \left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\;\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt {14 + 6\sqrt 5 } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5  + {2^2}} \\\;\;\; - \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| - \left| {3 + \sqrt 5 } \right|\\ = \sqrt 5  - 2 - 3 - \sqrt 5  =  - 5.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;\;\left( {3\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\sqrt {28 - 12\sqrt 5 } \\ = \sqrt 2 \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt {28 - 12\sqrt 5 } \\ = \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt {56 - 24\sqrt 5 } \\ = \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt {{6^2} - 2.6.2\sqrt 5  + {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt {{{\left( {6 - 2\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left| {6 - 2\sqrt 5 } \right|\\ = \left( {3 + \sqrt 5 } \right).2\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\\ = 2\left( {{3^2} - 5} \right) = 8.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;\;\sqrt {13 - \sqrt {160} }  - \sqrt {53 + 4\sqrt {60} } \\ = \sqrt {13 - \sqrt {{4^2}.10} }  - \sqrt {53 + 4.\sqrt {{2^2}.15} } \\ = \sqrt {13 - 4\sqrt {10} }  - \sqrt {53 + 8\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 2 .\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\; - \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + 2.4\sqrt 3 .\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \left| {2\sqrt 2  - \sqrt 5 } \right| - \left| {4\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right|\\ = 2\sqrt 2  - \sqrt 5  - 4\sqrt 3  - \sqrt 5 \\ = 2\sqrt 2  - 2\sqrt 5  - 4\sqrt 3 .\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\;\;\sqrt {2 + \sqrt 3 } \left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)\\ = \sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\ = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\ = \sqrt {3 + 2\sqrt 3  + 1} \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}} .\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\ = \left| {\sqrt 3  + 1} \right|\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\ = \left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\ = 3 - 1 = 2.\end{array}\)