Bài 20 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tứ giác lồi ABCD. Phân giác các góc A, B, C, D từng cặp liên tiếp cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh EFGH là một tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ABE\) có: \(\widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {EAB} - \widehat {EAB} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {HEF} = \widehat {AEB} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2}\) (hai góc đối đỉnh)

Tương tự xét \(\Delta CDG\) có: \(\widehat {CGD} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {HGF} = \widehat {CGD} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\) (hai góc đối đỉnh)

Xét tứ giác EFGH có:

\(\begin{array}{l}\widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2} + {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\\ = {360^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\end{array}\)

Mà \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = {360^0}\) (tổng 4 góc trong 1 tứ giác)

\( \Rightarrow \widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {360^0} - \dfrac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\)

Vậy tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180⁰).