Đề bài
Cho tứ giác lồi ABCD. Phân giác các góc A, B, C, D từng cặp liên tiếp cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh EFGH là một tứ giác nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Xét tam giác ABE và CDG tính \(\widehat {AEB}\) và \(\widehat {CGD}\). Từ đó suy ra \(\widehat {HEF}\) và \(\widehat {HGF}\).
+) Sử dụng tổng các góc của 1 tứ giác, chứng minh \(\widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {180^0}\).
Lời giải chi tiết
Xét \(\Delta ABE\) có: \(\widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {EAB} - \widehat {EAB} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2}\)
\( \Rightarrow \widehat {HEF} = \widehat {AEB} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2}\) (hai góc đối đỉnh)
Tương tự xét \(\Delta CDG\) có: \(\widehat {CGD} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\)
\( \Rightarrow \widehat {HGF} = \widehat {CGD} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\) (hai góc đối đỉnh)
Xét tứ giác EFGH có:
\(\begin{array}{l}\widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2} + {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\\ = {360^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\end{array}\)
Mà \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = {360^0}\) (tổng 4 góc trong 1 tứ giác)
\( \Rightarrow \widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {360^0} - \dfrac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\)
Vậy tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800).
Bài 21
Bài 18: Sống có đạo đức và tuân theo pháp luật
CHƯƠNG IV. HÀM SỐ BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Đề thi vào 10 môn Văn Long An
Đề thi vào 10 môn Toán Đắk Lắk