Bài 20 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2mx - {m^2} - 1 = 0\)  (1) với x là ẩn số.

a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ mà không phụ thuộc vào m.

c) Tìm m để (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - \dfrac{5}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 1\left( { - {m^2} - 1} \right) \)\(\,= {m^2} + {m^2} + 1 \)\(\,= 2{m^2} + 1 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{4} + 1\).

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} - 4 = 0\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{m^2} + 2{m^2} - 2}}{{ - {m^2} + 1}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow 12{m^2} - 4 = 5{m^2} - 5 \Leftrightarrow 7{m^2} =  - 1\end{array}\)

(vô nghiệm).

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.