Cho điểm C nằm bên trong đoạn thẳng AB. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC, CB ở về cùng phía với AB. Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D. Chứng minh diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn nói trên bằng diện tích hình tròn đường kính CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\).

+) Áp dụng hằng đẳng thức và hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh 2 phần diện tích đó bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Gọi O, O₁, O₂, O₃ lần lượt là tâm các đường tròn đường kính AB, AC, BC, CD.

Diện tích giới hạn bởi ba đường tròn đường kính AB, AC, CB là:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{AC}}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{8}\pi \left( {A{B^2} - A{C^2} - B{C^2}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(AB = AC + BC\) \( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {AC + BC} \right)^2} = A{C^2} + B{C^2} + 2AC.BC\)

\( \Rightarrow {S_1} = \dfrac{1}{8}\pi \left( {A{C^2} + B{C^2} + 2AC.BC - A{C^2} - B{C^2}} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{4}\pi .AC.BC\)

Diện tích hình tròn đường kính \(CD\) là \({S_2} = \pi {\left( {\dfrac{{CD}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\pi C{D^2}\) .

Ta có: \(\widehat {ADB}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB \( \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại D.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD có: \(C{D^2} = AC.BC\)

\( \Rightarrow {S_2} = \dfrac{1}{4}\pi .AC.BC = {S_1}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024