Bài 22 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác .

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {CA}  = ( - 1; - 1; - 1),\overrightarrow {CB}  = ( - 2; - 1;0)\)

\( \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = \left( {\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr   - 2 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr   - 2 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|} \right) \)

                      \(= ( - 1;2; - 1) \ne \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng, tức A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Chu vi tam giác ABC bằng \(AB + BC + CA = \sqrt 2  + \sqrt 5  + \sqrt 3 \)

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]} \right| \)

            \(= {1 \over 2}\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  = {{\sqrt 6 } \over 2}.\)

Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Giả sử D = (x,y,z) ta có : \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;0;1),\overrightarrow {DC}  = (2 - x;1 - y;1 - z).\)

Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2 - x =  - 1 \hfill \cr  1 - y = 0 \hfill \cr  1 - z = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow D = (3;1;0).\)

Tính độ dài đường cao \({h_A}\) của tam giác ABC kẻ từ A.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({h_A}\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, ta có :

\({h_A} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\)

Tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

\({\mathop{\rm cosA}\nolimits}  = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = 0 \Rightarrow A = {90^0}\) (tam giác ABC vuông tại A).

\(\eqalign{  & \cos B = {{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \over {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = {2 \over {\sqrt {10} }} = {{\sqrt {10} } \over 5}.  \cr  & \cos C = {{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \over {\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = {3 \over {\sqrt {15} }} = {{\sqrt {15} } \over 5}. \cr} \)

Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng A. Vậy H=(1;0;0).

Ta có thể làm cách khác như sau :

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC, ta có hệ

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \hfill \cr \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AH} \text{ đồng phẳng}\hfill \cr}  \right.  \cr  &  \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \hfill \cr  \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AH}  = (x - 1;y;z),\overrightarrow {BC}  = (2;1;0),\cr&\overrightarrow {BH}  = (x;y;z - 1),  \cr  & \overrightarrow {AB}  = ( - 1;0;1),\overrightarrow {AC}  = (1;1;1)  \cr  &  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 1;2; - 1),\cr&\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 1 - x + 2y - z. \cr} \)

Vậy ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{  2x - 2 + y = 0 \hfill \cr  x + y + z - 1 = 0 \hfill \cr  1 - x + 2y - z = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2x + y = 2 \hfill \cr  x + y + z = 1 \hfill \cr  x - 2y + z = 1 \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow H(1;0;0).\)

Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó \(I = \left( {1;{1 \over 2};1} \right).\)

Ta có thể làm cách như sau:

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có hệ

\(\left\{ \matrix{  AI = BI \hfill \cr  AI = CI  \hfill \cr\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AI} \text{ đồng phẳng} \hfill \cr}  \right.\)

\(  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr  A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr  \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AI}  = 0 \hfill \cr}  \right.  \)

\(  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  y = {1 \over 2} \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I(1;{1 \over 2};1).  \)