Đề bài
Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0\) (1) với x là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm GTLN của \(A = 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\Delta ' > 0\,\,\forall m\).
b) Tìm điều kiện để \(ac < 0\).
c) Áp dụng định lí Vi-ét, biểu diễn biểu thức A theo m, đưa biểu thức A về dạng \(A = - {f^2}\left( m \right) + k\), khi đó \(A \le k\,\,\forall m \Rightarrow {A_{\max }} = k\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 1\left( {2m - 5} \right) \)\(\,= {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5 \)\(\,= {m^2} - 4m + 6\)
\( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - 4m + 4 + 2 \)\(\,= {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\).
Ta có: \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\)
\(\Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 \ge 2 > 0\,\,\forall m\)
\(\Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\).
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 1\left( {2m - 5} \right) < 0\)
\(\Leftrightarrow 2m < 5 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\).
c) Gọi \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\).
Ta có:
\(A = 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2 \)
\(\;\;\;= 4{x_1}{x_2} - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\)
\(\;\;\;= 6{x_1}{x_2} - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \)
\(\;\;\;= 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 6\left( {2m - 5} \right) - 4{\left( {m - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,A = 12m - 30 - 4{m^2} + 8m - 4\\\,\,\,\,\,\,A = - 4{m^2} + 20m - 34\\\,\,\,\,\,\,A = - \left( {4{m^2} - 20m} \right) - 34\\\,\,\,\,\,\,A = - \left[ {{{\left( {2m} \right)}^2} - 2.2m.5 + {5^2}} \right] + {5^2} - 34\\\,\,\,\,\,\,A = - {\left( {2m - 5} \right)^2} - 9\end{array}\)
Ta có \({\left( {2m - 5} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {2m - 5} \right)^2} \le 0\) \( \Rightarrow - {\left( {2m - 5} \right)^2} - 9 \le - 9\)
\( \Rightarrow A \le - 9 \Rightarrow {A_{\max }} = - 9\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\).
Bài 3: Dân chủ và kỉ luật
Bài 3. Phân bố dân cư và các loại hình quần cư
Chương 2. Kim loại
Đề thi vào 10 môn Văn Hồ Chí Minh
Bài 1: Chí công vô tư
Chatbot GPT