Bài 24 trang 96 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A và \(\widehat A = {50^o}\). Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB tại D và cắt BC tại H. Tính số đo các cung AD, DH và HC.

Lời giải chi tiết

Gọi O là trung điểm AC \( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn đường kính AC.

+) Ta có \(\widehat {ADC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại D.

\( \Rightarrow DO = \dfrac{1}{2}AC = OC = OD\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta OAD\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OAD} = \widehat {ODA} = {50^0}\).

Xét tam giác OAD có \(\widehat {OAD} + \widehat {ODA} + \widehat {AOD} = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow {50^0} + {50^0} + \widehat {AOD} = {180^0} \)

\(\Rightarrow {100^0} + \widehat {AOD} = {180^0} \)

\(\Rightarrow \widehat {AOD} = {180^0} - {100^0} = {80^0}\).

Mà \(\widehat {AOD}\) là góc ở tâm  \( \Rightarrow \widehat {AOD} = sdcung\,AD\) (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

Vậy \(sd \;cung AD = 80^o\).

+) \(\Delta ABC\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = {180^0}\) (tổng ba góc trong 1 tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0} - \widehat {BAC} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\).

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{130}^0}}}{2} = {65^0}.\)

Ta có \(\widehat {AHC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta AHC\) vuông tại H.

\( \Rightarrow HO = \dfrac{1}{2}AC = OA = OC\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta OHC\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OHC} = \widehat {OCH} = {65^0}\).

Xét tam giác OHC có : \(\widehat {OCH} + \widehat {OHC} + \widehat {HOC} = {180^0}\) (tổng ba góc trong 1 tam giác).

\( \Rightarrow {65^0} + {65^0} + \widehat {HOC} = {180^0} \)

\(\Rightarrow {130^0} + \widehat {HOC} = {180^0} \)

\(\Rightarrow \widehat {HOC} = {50^0}\).

\( \Rightarrow sdcung\,HC = \widehat {HOC} = {50^0}\) (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

+) Ta có :

\(\begin{array}{l}\widehat {AOD} + \widehat {DOH} + \widehat {HOC} = \widehat {AOC} = {180^0} \\\Rightarrow {80^0} + \widehat {DOH} + {50^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {DOH} = {180^0} - {130^0} = {50^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow sdcung\,DH = \widehat {DOH} = {50^0}\)(số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).