Bài 26 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = (5;0;10),\)

              \(\overrightarrow {CA}  = ( - 3;0;6),\)

              \(\overrightarrow {CB}  = ( - 8;0; - 4).\)

Do \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 24 - 24 = 0\) nên ABC là tam giác vuông tại C.

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}CA.CB = {1 \over 2}.3\sqrt 5 .4\sqrt 5  = 30.\)

Ta lại có \(p = {1 \over 2}(AB + BC + CA) \)

                  \(= {1 \over 2}(5\sqrt 5  + 3\sqrt 5  + 4\sqrt 5 ) = 6\sqrt 5 .\)

Mặt khác S = p.r, suy ra \(r = {S \over p} = {{30} \over {6\sqrt 5 }} = \sqrt 5 .\)

Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{  & \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  10 \hfill \cr  4 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  10 \hfill \cr  4 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  5 \hfill \cr  8 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  5 \hfill \cr  8 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|} \right)\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= (0;60;0),  \cr  & \overrightarrow {BD}  = (4;3;5)  \cr  &  \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right].\overrightarrow {BD} } \right|\cr& \;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}\left| {0.4 + 60.3 + 0.5} \right| = 30 \cr} \)

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Từ điều kiện \(I{A^2} = I{B^2},I{A^2} = I{C^2},I{A^2} = I{D^2}\), ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{   - 10x = 20z + 15 = 0 \hfill \cr  6x - 12z + 15 = 0 \hfill \cr   - 2x + 6y - 10z + 35 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {1 \over 2} \hfill \cr  y =  - {{13} \over 3} \hfill \cr  z = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy mặt cầu cần tìm có tâm \(I\left( { - {1 \over 2}; - {{13} \over 3};1} \right)\) và bán kính là

\(\eqalign{  & R = IC \cr&= \sqrt {{{\left( {5 + {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + {{13} \over 3}} \right)}^2} + {{(0 - 1)}^2}}   \cr  &  = \sqrt {{{121} \over 4} + {{100} \over 9} + 1}  = \sqrt {{{1525} \over {36}}.}  \cr} \)

Do đó phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

\({\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {{13} \over 3}} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {{1525} \over {36}}.\)