Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \(y=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+) Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \(D=R.\)
Có: \(y'=\dfrac{(x)'.(x^2+1)-x.(x^2+1)'}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1-{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)^2}\)
Ta có: \(y' > 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} > 0 \) \(\Leftrightarrow - 1 < x < 1\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right).\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} < 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Chương 2. Cacbohidrat
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Vật lí lớp 12
Tóm tắt, bố cục, nội dung chính các tác phẩm SGK Ngữ văn 12 - tập 1
Bài 28. Vấn đề tổ chức lãnh thổ công nghiệp
Chương 5. ĐẠI CƯƠNG VỀ KIM LOẠI