Bài 3 trang 115 sgk toán lớp 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat A = {60^0}\). Gọi \(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Chứng minh rằng đa giác \(EBFGDH\) là lục giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: 

- Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau,

- Lục giác đều là hình có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình thoi (giả thiết) và \(\widehat A = {60^0}\) (giả thiết)

Do đó \(AB = BC = CD = DA\); \(AB//DC;\,BC//AD\).

Lại có \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\) nên \(AE = EB = BF = FC = CG = GD\)\(\, = DH = HA\)

Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat A + \widehat {ABC} = {180^0}\) (\(2\) góc trong cùng phía bù nhau)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0} \)\(= {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {120^0}\) (tính chất hình thoi)

\(\Delta EAH\) có \(AE=AH\) (chứng minh trên) và \(\widehat A=60^0\) nên là tam giác đều (vì tam giác cân có một góc \(60^0\) là tam giác đều)

\( \Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {AHE} = {60^0}\) và \(AE=EH=AH\) (tính chất tam giác đều) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AEH} + \widehat {HEB} = {180^0}\\
\widehat {AHE} + \widehat {EHD} = {180^0}
\end{array} \right.\)  (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {HEB} = \widehat {EH{\rm{D}}} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Tương tự:

\(\Delta CFG\) có \(CF=CG\) (chứng minh trên) và \(\widehat C=\widehat A =60^0\) (do ABCD là hình thoi) nên là \(\Delta CFG\) tam giác đều (vì tam giác cân có một góc \(60^0\) là tam giác đều)

\( \Rightarrow \widehat {CFG} = \widehat {CGF} = {60^0}\) và \(CF=FG=CG\) (tính chất tam giác đều) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CFG} + \widehat {BFG} = {180^0}\\
\widehat {CGF} + \widehat {FGD} = {180^0}
\end{array} \right.\)  (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {BFG} = \widehat {FGD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Từ đó ta suy ra: \( EB = BF = GD=HD\)\(\, = EH= FG\) 

\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} \)\(=\widehat {HEB} = \widehat {EH{\rm{D}}}\)\(=\widehat {BFG} =\widehat{F GD} = {120^0}\)

Vậy đa giác \(EBFGDH\) có tất cả các góc bằng nhau, tất cả các cạnh bằng nhau ( bằng nửa cạnh hình thoi)

Nên \(EBFGDH\) là một lục giác đều (dấu hiệu nhận biết lục giác đều)