Bài 30 trang 32 Vở bài tập toán 9 tập 2

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 5  - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1\\\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5  = 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 

Lời giải chi tiết:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 5 \) , ta được  \(5.x - \sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = \sqrt 5 \)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), ta được \( - 2x + y\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)

Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \(3x = 1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }}{3}\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(1 - \sqrt 3 \) , ta được \(x\sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 2y = 1 - \sqrt 3 \) 

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \( - \sqrt 5 \) , ta được \( - \sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 5y =  - \sqrt 5 \)

Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \( - 3y = 1 - \sqrt 5  - \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1}}{3}} \right)\)

 \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} =  - 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ta đặt \(u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\) 

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện \(x + 1 \ne 0\) và \(y + 1 \ne 0\) đặt  \(u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\) ta được hệ phương trình

(I)   \(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v =  - 1\end{array} \right.\)

Giải (I):

\(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\2u + 6v =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5v = \sqrt 2  + 2\\u + 3v =  - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - 3.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5} =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - \dfrac{{6 + 3\sqrt 2 }}{5} =  - 1\end{array} \right.\)

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

(II)   \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}\\\dfrac{y}{{y + 1}} =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\)

Giải (II), ta được:

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr 
{y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr 
y = \left( {y + 1} \right){{ { - 2 - \sqrt 2 } } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 
5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\
5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
\left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr 
y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\) 

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\
y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\
y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk)
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) \)\(=\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)