Bài 32 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) mà trung đoạn của nó ( đường cao của một mặt bên hạ từ đỉnh hình chóp) bằng 6 còn góc giữa hai mặt bên dối diện bằng \({60^0}\). Qua CD, dựng mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(mp\left( {SAB} \right)\), cắt SA, SB lần lượt tại P1 và P.

Hãy tính thể tích khối chóp S.CDP1P.

Lời giải chi tiế

Giả sử SK và SE là hai trung đoạn của khối chóp.

Vì \(CD//AB\) nên giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) song song với CD và AB.

Ta có \(SE \bot CD;SK \bot AB \Rightarrow SE \bot \Delta ,SK \bot \Delta  \Rightarrow \) \(\widehat {KSE}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

Vậy \(\widehat {KSE}\) = 600.

Do \(CD//AB\) nên giao tuyến P1P của \(\left(\alpha \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\)song song với \(CD\) và \(AB\).

Tứ đó dễ thấy tứ giác CDP1P là hình thang cân và EH là đường cao của nó \(\left( {H = SK \cap {P_1}P} \right)\).

Ta có \(EH \bot {P_1}P,\) mà \({P_1}P = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right),\left( \alpha  \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên suy ra \(EH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow EH \bot SH.\)

Mặt khác \(SH \bot {P_1}P \Rightarrow SH \bot \left( {CD{P_1}P} \right)\) nên SH là đường cao của hình chóp S.CDP1P.

Tam giác SKE cân đỉnh S và có góc ở đỉnh bằng 600 nên nó là tam giác đều.

Vậy H là trung điểm của SK, suy ra

\({P_1}P = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}KE = {1 \over 2}SE = {1 \over 2}.6 = 3.\)

Ta có :

\(\eqalign{&
{V_{S.CD{P_1}P}} = {1 \over 3}{S_{CD{P_1}P}}.SH \cr&= {1 \over 3} \cdot {1 \over 2}\left( {CD + {P_1}P} \right).EH.SH \cr 
& ={1 \over 6}\left( {6 + 3} \right) \cdot {{6\sqrt 3 } \over 2} \cdot 3 = {{27} \over 2}\sqrt 3 \cr} \)