Bài 32 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.

Lời giải chi tiết:

Trước hết ta xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm A, A’, B, C. Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu đó, ta có \(IA{^2} =IA{'^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {(x - a')^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \cr  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {(y - b)^2} + {z^2} \hfill \cr  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {(z - c)^2} \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{   - 2ax + {a^2} =  - 2a'x + a{'^2} \hfill \cr   - 2ax + {a^2} =  - 2by + {b^2} \hfill \cr   - 2ax + {a^2} =  - 2cz + {c^2} \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \cr} \)

\( \Rightarrow x = {{a + a'} \over 2} \Rightarrow y = {{{b^2} + aa'} \over {2b}}\) và \(z = {{{c^2} + aa'} \over {2c}}\)

Vậy \(I = \left( {{{a + a'} \over 2};{{{b^2} + aa'} \over {2b}};{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)\)

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có :

\(\eqalign{  & {R^2} = I{B^2} \cr&= {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{aa' - {b^2}} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}.  \cr  &  \cr} \)

Mặt khác :

\( I{{B\,'}^2} = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2}{\rm{ + aa}}'} \over {2b}} - b'} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}  \)

\( = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2} - aa'} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}  \)  (vì aa’ = bb’)

\( = IB^2 = {R^2}\) 

Tương tự \(IC\,'{^2} = I{C^2} = {R^2}.\)

Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu nói trên.

Chứng minh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’).

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), ta có \(\overrightarrow {OG}  = \left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right)\)

Để chứng minh OG vuông góc với mp(A’B’C’), ta chỉ cần chứng minh

\(\left\{ \matrix{  \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Vì \(\overrightarrow {A'B'}  = ( - a';b';0),\overrightarrow {A'C'}  = ( - a';0;c')\)

Nên \( \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'}  =  - {{aa'} \over 3} + {{bb'} \over 3} + 0 = 0   \)

\(\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'}  =  - {{aa'} \over 3} + 0 + {{cc'} \over 3} = 0\) (đpcm).