Bài 34 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\)

Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có a = -2m, b = 2, c = m, \(d = {m^2} + 4m.\)

Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {( - 2m)^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0\;\forall m. \cr} \)

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là :

\(R = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3  \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt 3 \) khi \(m = {1 \over 2}.\)

Cho phương trình:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha  - 2y\sin \alpha  - 4z \)

\(- (4 + {\sin ^2}\alpha ) = 0\)

Xác định \(\alpha \) để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm \(\alpha \) để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có :\(a = \cos \alpha ,b =  - \sin \alpha ,c =  - 2,d =  - (4 + {\sin ^2}\alpha )\)

\(\eqalign{  &  {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha   \cr  &  = 9 + {\sin ^2}\alpha  > 0\;\forall \alpha . \cr} \)

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi \(\alpha \).

Khi đó \(R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha } \)

Vì \(0 \le {\sin ^2}\alpha  \le 1\) nên \(3 \le R \le \sqrt {10} \)

Vậy \({R_{\min }} = 3\) khi \(\alpha  = k\pi ,(k \in \mathbb Z).\)

       \({R_{\max }} = \sqrt {10} \) khi \(\alpha  = {\pi  \over 2} + l\pi (l \in \mathbb Z).\)