Cho số phức \({\rm{w}} = - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Biến đổi w về dạng lượng giác.

- Sử dụng công thức Moa-vrơ tính \(w^n\)

\(\begin{array}{l}
z = r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i \) \(= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\)

Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\)

\({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4n = 3k \)

\( \Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3\)

Vậy n chia hết cho 3 (n nguyên dương)

\({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0\) \( \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

\( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để \({\rm{w} ^m}\) là số ảo.

Fqa.vn

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024