Bài tập trắc nghiệm khách quan chương III

Giả sử \(\int\limits_1^5 {{{dx} \over {2x - 1}}}  = \ln c\). Giá trị của c là
(A) \(9\);                     (B) \(3\);

(C) \(81\);                   (D) \(8\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \int\limits_1^5 {\frac{{\frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right)'dx}}{{2x - 1}}} \\
= \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {\frac{{d\left( {2x - 1} \right)}}{{2x - 1}}} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5\\
= \frac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 1} \right) = \frac{1}{2}\ln {3^2} = \ln 3\\
\Rightarrow \ln c = \ln 3 \Rightarrow c = 3
\end{array}\)

Chọn (B).

Chú ý:

Có thể sử dụng công thức làm nhanh \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} \) là

\(\left( A \right)\,{e^4}\);                \(\left( B \right)\,{e^4} - 1;\)

\(\left( C \right)\,4{e^4};\)                \(\left( D \right)\,3{e^4} - 1;\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}\left( {2x} \right)'dx} \\
= \int\limits_0^2 {{e^{2x}}d\left( {2x} \right)} = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2\\
= {e^4} - {e^0} = {e^4} - 1
\end{array}\)

Chú ý: Có thể sử dụng công thức làm nhanh \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\)

\(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx}  =2.{\dfrac{{e^{2x}}}{2}}|_0^2 = {e^4} - 1\)

Chọn (B).

Giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \) là:

\(\left( A \right)\, - {7 \over {10}};\)                 \(\left( B \right)\, - {6 \over {10}};\)

\(\left( C \right)\,{2 \over {15}};\)                       \(\left( D \right)\,{1 \over {60}}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \cr &= \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right)dx} \cr & = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + {x^2}} \right)dx} \cr &= \left( {{{{x^6}} \over 6} + {{3{x^5}} \over 5} + {{3{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}} \right)|_{ - 1}^0 \cr & = 0 - \left( {\frac{1}{6} - \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}} \right)= {1 \over {60}} \cr} \)

Chọn (D).

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y = 4x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) \(4\);                       (B) \(5\);

(C) \(3\);                       (D) \(3,5\).

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

\(\left\{ \matrix{
{x^3} = 4x \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) \( \Rightarrow 4x - {x^3} = x\left( {4 - {x^2}} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow \left| {4x - {x^3}} \right| = 4x - {x^3}\)

Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^3}} \right|dx}  \) \(= \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^3}} \right)dx}  \) \(= \left( {2x^2 - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^2 \) \(8-4= 4\)

Chọn (A).

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng \(y = 8x, y = x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) \(12\);               (B) \(15,75\);

(C) \(6,75\);             (D) \(4\)

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {x^3} = 8x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2\sqrt 2 \hfill \cr 
x = - 2\sqrt 2 \,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr 
& {x^3} = x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr 
x = - 1\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\eqalign{
& S =\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\left( {8x - {x^3}} \right)} dx\cr &-\int\limits_0^1 {\left( {x - x^3} \right)} dx \cr 
& = \left( {4{x^2} - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^{2\sqrt 2 } \cr &-\left({1 \over 2}{x^2}-{1 \over 4}{x^4}\right)|_0^1 \cr &= \left( {32 - 16} \right) - \left( {{1 \over 2} - {1 \over 4}} \right) \cr &= 16 - {1 \over 4} = 15,75 \cr} \)

Chọn (B).

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là:

\(\left( A \right)\,{4 \over 3};\)              \(\left( B \right)\,{3 \over 2};\)

\(\left( C \right)\,{5 \over 3};\)                 \(\left( D \right)\,{{23} \over {15}}.\)

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\) \( \Rightarrow \left| {2x - {x^2}} \right| = 2x - {x^2}\)

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx}= \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}  \) \( = \left( {{x^2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)|_0^2 = {4 \over 3}\)

Chọn (A)

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số \(y = {x^2}\) và \(y = 6 - \left| x \right|\). Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:

\(\left( A \right)\,{{32\pi } \over 3};\)               \(\left( B \right)\,9\pi ;\)

\(\left( C \right)\,8\pi \,;\)                \(\left( D \right)\,{{20\pi } \over 3}.\)

Phương pháp giải:

Dựng hình, sử dụng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)

Lời giải chi tiết:

\(y = 6 - \left| x \right| = \left\{ \matrix{
6 - x\,\,\text{ nếu }\,\,x \ge 0 \hfill \cr 
6 + x\,\,\,\text{ nếu }\,\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Giao điểm của (P) với đường thẳng \(y=6-x\) ( với \(x \ge 0\)) là:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 6 - x \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\left( {y = 4} \right)\)

\(\eqalign{
& V = {\int\limits_0^4 {\pi \left( {\sqrt y } \right)} ^2}dy + \int\limits_4^6 {\pi {{\left( {6 - y} \right)}^2}dy} \cr &= \pi \int\limits_0^4 {ydy} + \pi \int\limits_4^6 {{{\left( {y - 6} \right)}^2}dy} \cr 
&  = \pi {{{y^2}} \over 2}|_0^4 + \pi {1 \over 3}{\left( {y - 6} \right)^3}|_4^6 \cr &= 8\pi + {{8\pi } \over 3} = {{32\pi } \over 3} \cr} \)

Chọn (A)

Cho \(a,b\) là hai số dương. Gọi \(K\) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2}\) và đường thẳng \(y=-bx\). Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay \(K\) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của \(a\) và \(b\). Khi đó \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện sau:

\(\left( A \right)\,{b^4} = 2{a^5}\,;\)

\(\left( B \right)\,{b^3} = 2{a^5}\,;\)

\(\left( C \right)\,{b^5} = 2{a^3}\,;\)

\(\left( D \right)\,{b^4} = 2{a^2}.\)

Lời giải chi tiết:

\(a{x^2} = - bx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {b \over a} \hfill \cr} \right.\)

\(V = \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( { - bx} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( {a{x^2}} \right)}^2}dx} \)

\(= \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {\left( {{b^2}{x^2} - {a^2}{x^4}} \right)} dx \) \(=\pi \left( {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right)\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0 \)

\(=  - \pi \left( {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right) \) \(= {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}\)

Vì \({{{b^5}} \over {{a^3}}}\) là hằng số nên ta phải chọn (C).

Khi đó \(V = {{4\pi } \over {15}}.\)