Bài 36 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Khối chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc \( \alpha  \) và tạo với mặt \(\left( {SAD} \right)\) góc \(\beta \). Tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết

AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \)

Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \( \Rightarrow \)  \(\widehat {BSD} = \beta \)

Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }},SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra

\(\eqalign{   &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }}  \cr  &  \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \)

\(\eqalign{  & SD = BD\cot \beta  = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }},  \cr  & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.  \cr  &  \cr} \)

Vậy :

\(\eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA  \cr  &  = {1 \over 3}.a.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}  \cr  &  = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \)