Bài 36 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2

Đề bài

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm)

a) Tìm một hệ thức giữa \(x\) và \(h\) khi \(AA'\) có độ dài không đổi  và bằng \(2a.\)

b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo \(x\) và \(a.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Diện tích xung quanh hình trụ bán kính \(r\) và chiều cao \(h\) là: \(S_{xq}=2 \pi rh.\)

+) Thể tích hình trụ bán kính \(r\) và chiều cao \(h\) là: \(V=\pi r^2h.\)

+) Diện tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(S=4 \pi r^2.\) 

+) Thể tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(V=\dfrac{4}{3} \pi r^3.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AA’ = AO + OO’ + O’A’\)

hay \(2a = x + h + x\)

Vậy \(h + 2x = 2a.\) 

b) - Diện tích cần tính bằng tổng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là \(x\), chiều cao là \(h\) và diện tích mặt cầu có bán kính là \(x\).

- Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{trụ}} = {\rm{ }}2\pi xh\)

- Diện tích mặt cầu:\({S_{cầu}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}\)

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

\(S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{trụ}} + {S_{cầu}}= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}}\)

\( = 2\pi x\left( {h + 2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax.\)

Thể tích cần tìm bằng tổng thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:

\({V_{trụ}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h\)

 \(\displaystyle {V_{cầu}} = {4 \over 3}\pi {x^3}\)

Nên thể tích của chi tiết máy là: 

\(\displaystyle V = {V_{trụ}} + {V_{cầu}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}\)

Mà \(h+2x=2a\) (câu a) nên \(h=2a-2x=2(a-x)\)

\( \Rightarrow V \displaystyle = 2\pi {x^2}(a - x) + {4 \over 3}\pi {x^3}=2\pi {x^2}.a -2\pi {x^3} + {4 \over 3}\pi {x^3}\\ =2\pi {x^2}.a - {2 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left( {a - {1 \over 3}x} \right).\)