PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 1

Bài 39 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\), \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại \(A\) cắt tiếp tuyến chung ngoài \(BC\) ở \(I\).

a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Tính số đo góc \(OIO'\). 

c) Tính độ dài \(BC\), biết \(OA=9cm,\ O'A=4cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) +) Đường tròn \((O)\) có hai tiếp tuyến \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(B,\ C\) thì \(AB=AC\).

+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông.

b) + Đường tròn \((O)\) có hai tiếp tuyến \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(B,\ C\) thì \(AO\) là tia phân giác của góc \(BAC\). 

+) Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

c) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\) có tiếp tuyến chung là đường thẳng \(d\) thì \(d \bot OO'\) tại \(A\).

+) Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) thì \(AH^2=BH.CH\).

Lời giải chi tiết

 

a)

Xét đường tròn \((O)\) có \(IB,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(B,\ A\)

\(\Rightarrow IB=IA\) (1); \(IO\) là tia phân giác của góc \(BIA \Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (2)

Xét đường tròn \((O')\) có \(IC,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(C,\ A\)

\(\Rightarrow IC=IA\) (3); \(IO'\) là tia phân giác của góc \(CIA \Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) (4)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow IB=IC=IA=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow \Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) (tam giác có đường trung tuyến AI ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông) 

\(\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Cách 1:

Ta có: \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_4}=180^o\) (5)

Từ (2), (3), (5) \(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_3}=180^o\)

\(\Leftrightarrow 2\widehat{I_2}+2\widehat{I_3}=180^o\)

\(\Leftrightarrow 2(\widehat{I_2}+\widehat{I_3})=180^o\)

\(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_3}=90^o\)

\(\Leftrightarrow \widehat{OIO'}=90^o\)

Cách 2:  

Vì góc \(BIA\) và góc \(AIC\) là hai góc kề bù

Suy ra \(\widehat{OIO'}=90^{\circ}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).

c) Vì \(IA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên \(IA \bot OO'\).

Xét tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I\) có \(IA\) là đường cao, áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:

\(AI^2=AO.AO' \Rightarrow AI^2=9.4=36\)

\(\Rightarrow AI= \sqrt{36}=6 cm\)

Từ câu a, ta có \(AI=\dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2.AI=2.6=12cm\)

Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi. 

 

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved