Bài 4 trang 119 sgk Hình học 11

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB =  a, BC= b, CC' = c\).

a) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((ACC'A')\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác định và tính khoảng cách từ điểm B đến \((ACC'A')\) bằng cách kẻ \(BH \bot AC\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách vừa xác định được.

b) Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Đưa về bài toán xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Trong \((ABCD)\) kẻ \(BH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(CC'\bot (ABCD)\Rightarrow CC'\bot BH\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\bot (ACC'A')\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\)\( \Rightarrow BH = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AA' \bot \left( {ABCD} \right)\\
AA' \subset \left( {ACC'A'} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\
BH \subset \left( {ABCD} \right)\\
BH \bot AC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow BH \bot \left( {ACC'A'} \right)\\
AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
BH.AC = AB.BC\\
\Rightarrow BH = \dfrac{{AB.BC}}{{AC}} = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array}\)

b) Ta có: \(AC'\subset (ACC'A') // BB'\)

\(\Rightarrow d(BB', AC') =d(BB';(ACC'A')\)\(= d(B,(ACC'A'))=BH.\)

\( \Rightarrow d\left( {BB';AC'} \right) = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)