Bài 4 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O ; R), AB là đường kính. Trên (O) lấy điểm C sao cho AC = R.

a) Tính BC theo R.

b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt đườn thẳng AB tại M. Lấy trên (O) điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh rằng \(M{C^2} = MA.MB\).

d) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O), ME cắt (O) tại F. Gọi H là giao điểm của CD với MO. Chứng minh rằng : MF.ME = MH.MO.

Lời giải chi tiết

a) Do \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(A \Rightarrow \angle ACB = {90^0} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\) .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} - A{C^2}\)\(\, = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2}\)

\(\Rightarrow BC = R\sqrt 3 \).

b) Xét \(\Delta OMC\) và \(\Delta OMD\) có :

\(\begin{array}{l}OM\,\,chung\\OC = OD = R\\MC = MD\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OMC = \Delta OMD\,\,\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \angle OCM = \angle ODM = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow MD \bot OD\) tại \(D\). Mà \(OD\) là bán kính của \(\left( O \right)\).

Vậy \(MD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) Xét \(\Delta OAC\) có \(OA = OC = R\) \( \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\).

Mà \(\angle OAC + \angle B = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông \(ABC\)).

\(\angle OCA + \angle ACM = \angle OCM = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle ACM = \angle B\).

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta ACB\) có :

\(\begin{array}{l}\angle BMC\,\,chung;\\\angle ACM = \angle B\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MCB\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MC}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{C^2} = MA.MB\end{array}\)

d) Vì \(F\) thuộc đường tròn đường kính \(DE \Rightarrow \angle DFE = {90^0} \Rightarrow DF \bot EF\)

\(MD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MD \bot DE\).

Xét \(\Delta MDF\) và \(\Delta MED\) có :

\(\begin{array}{l}\angle DME\,\,chung\\\angle DFM = \angle EDM = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta MDF \sim \Delta MED\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{ME}} = \dfrac{{MF}}{{MD}}\\ \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ODM\) ta có : \(M{D^2} = MH.MO\).

Vậy \(MH.MO = MF.ME\).