Bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

\(y = \dfrac 4 {1 + {x^2}}\);

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};...;{{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);f\left( {{x}_{2}} \right);f\left( {{x}_{3}} \right);...;f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(y=\dfrac{4}{1+{{x}^{2}}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=\dfrac{-2x.4}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{-8x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 8x=0\Leftrightarrow x=0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=0;\) \({y_{\max }} = 4\)

Cách khác:

Ta thấy: \(1+x^2\ge 1, \forall x\) nên \(\dfrac{4}{{1 + {x^2}}} \le \dfrac{4}{1} = 4 \Rightarrow y \le 4\).

Vậy \(\max y = 4\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\).

\(y = 4{x^3} - 3{x^4}\)

Lời giải chi tiết:

\(y=4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}=0\) 

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}\right.$

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {4{x^3} - 3{x^4}} \right) =  - \infty \)

Ta có bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=1;\) \({y_{\max }} = 1\).