Bài 4 trang 78 SGK Giải tích 12

a) $y = \log x$;

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Tính $y'$, tìm các điểm mà tại đó $y'$ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu $y'$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

- Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số $y = \log x$.

*) Tập xác định: $D=(0;+\infty)$

*) Sự biến thiên:

$y' = {1 \over {x\ln 10}} > 0,\forall x \in D$

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$

- Giới hạn đặc biệt:

  $\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} $

Hàm số có tiệm cận đứng là: $x=0$

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ và đi qua điểm $(10;1)$, $(\dfrac{1}{10}; -1)$.

b) y = $\log_{\frac{1}{2}}x$.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}}x$.

*) Tập xác định: $D=(0;+\infty)$

*) Sự biến thiên:

$y' =  \dfrac {-1}  {x\ln 2} < 0,\forall x \in D$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$

- Giới hạn: 

  $\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr} $

Hàm số có tiệm cận đứng $x=0$.

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ và đi qua điểm $(\dfrac{1}{2};1)$, điểm phụ $(2;-1)$, $(4.-2)$, $(\dfrac{1}{4}; 2)$.