Bài 42 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tìm \(\alpha \) để hai mặt phẳng

\(x - {1 \over 4}y - z + 5 = 0\) và \(x\sin \alpha  + y\cos \alpha  + z{\sin ^3}\alpha  + 2 = 0\)

vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết:

\(\left[ \matrix{  \alpha  = {\pi  \over 2} + k\pi  \hfill \cr  \alpha  = {\pi  \over {12}} + m\pi  \hfill \cr  \alpha  = {{5\pi } \over {12}} + n\pi  \hfill \cr}  \right.\)       k, m, n\( \in Z.\)

Tìm \(\alpha \) để vectơ \(\overrightarrow u (\sin \alpha ;0;\sin \alpha \cos 2\alpha )\) có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) :x+y+2z+6=0.

Lời giải chi tiết:

\(\left[ \matrix{  \alpha  = k\pi  \hfill \cr  \alpha  =  \pm {\pi  \over 3} + l\pi  \hfill \cr}  \right.\)    \(k,l \in Z\).

Cho hai mặt phẳng có phương trình :

2x-my+3z-6+m=0 và (m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0.

Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó :

-Song song với nhau .

-Trùng nhau.

-Cắt nhau.

-Vuông góc với nhau ?

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng song song với nhau \( \Leftrightarrow {2 \over {m + 3}} = {m \over 2} = {3 \over {5m + 1}} \ne {{ - 6 + m} \over { - 10}}.( * )\)

Ta có \(\left\{ \matrix{  {2 \over {m + 3}} = {m \over 2} \hfill \cr  {m \over 2} = {3 \over {5m + 1}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {m^2} + 3m - 4 = 0 \hfill \cr  5{m^2} + m - 6 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Nhưng với m=1 ta có \({m \over 2} = {1 \over 2}\) và \({{ - 6 + m} \over { - 10}} = {1 \over 2}\), tức là điều kiện \(\left(  *  \right)\) không thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của m để hai mặt phẳng song song.

Từ đó suy ra : hai mặt phẳng trùng nhau \( \Leftrightarrow m = 1;\)

                       Hai mặt phẳng cắt nhau \( \Leftrightarrow m \ne 1.\)

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi : 2(m+3)+m.2+3.(5m+1)=0

\( \Leftrightarrow 19m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  - {9 \over {19}}.\)