Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bài 3. Bảng lượng giác
Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Bài 5. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời
Ôn tập chương I – Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 9
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 1 - Hình học 9
Bài 1. Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn
Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Bài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)
Ôn tập chương II – Đường tròn
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 9
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 9
Đề bài
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, chứng minh tứ giác có ba góc vuông.
b) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông
c) Chứng minh \(OO'\) vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính \(BC\) tại tiếp điểm.
d) Dùng tính chất của đường trung bình trong tam giác.
Chứng minh \(BC'\) vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính \(OO'\) tại tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\)
Ta có: \(∆MAB\) cân tại \(M (do\,MA = MB)\) nên MO là đường phân giác đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\)
Lại có \(MA, MC\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O') (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MC\), MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\)
Ta có: \(∆MAC\) cân tại \(M (do\,MA = MC)\) nên MO' là đường phân giác đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow MO' \bot AC \Rightarrow \widehat {MFA} = 90^0\)
Vì \(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kề bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)
Vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\) nên tứ giác AEMF là hình chữ nhật ( Tứ giác có 3 góc vuông)
b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(∆MAO'\) vuông tại A có AF là đường cao nên \(MF. MO’ = MA^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\)
c) Theo câu a) ta có \(MA=MB\) và \(MA=MC\)
⇒ \(MA = MB = MC=\dfrac{BC}2\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A.
Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
d)
Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đường kính là OO’
Tam giác OMO' vuông tại M (do theo câu a có \(\widehat {EMF}=90^0\) hay \(\widehat {OMO'}=90^0\) ) có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO' nên \(KM=\dfrac{1}2OO'\) (tính chất)
Như vậy, đường tròn tâm K đường kính OO' có bán kính KM.
Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC \) (do BC là tiếp tuyến) \(⇒ OB // O'C.\)
⇒ Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.
Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\)
Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\)
Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Tiếng Anh lớp 9
PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 1
PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 2
Đề thi vào 10 môn Toán Hậu Giang
Đề thi vào 10 môn Văn Bến Tre