PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 1

Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’ 

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, chứng minh tứ giác có ba góc vuông.

b) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

c) Chứng minh \(OO'\) vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính \(BC\) tại tiếp điểm.

d) Dùng tính chất của đường trung bình trong tam giác.

    Chứng minh \(BC'\) vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính \(OO'\) tại tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

 

a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt). 

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\)

Ta có: \(∆MAB\) cân tại \(M (do\,MA = MB)\) nên MO là đường phân giác đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\)

Lại có \(MA, MC\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O') (gt). 

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MC\), MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) 

Ta có: \(∆MAC\) cân tại \(M (do\,MA = MC)\) nên MO' là đường phân giác đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO' \bot AC \Rightarrow \widehat {MFA} = 90^0\)

Vì \(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kề bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

Vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\) nên tứ giác AEMF là hình chữ nhật ( Tứ giác có 3 góc vuông)

b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(∆MAO'\) vuông tại A có AF là đường cao nên \(MF. MO’ = MA^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\)

c) Theo câu a) ta có \(MA=MB\) và \(MA=MC\)

⇒ \(MA = MB = MC=\dfrac{BC}2\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d)

 

 

Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đường kính là OO’

Tam giác OMO' vuông tại M (do theo câu a có \(\widehat {EMF}=90^0\) hay \(\widehat {OMO'}=90^0\) ) có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO' nên \(KM=\dfrac{1}2OO'\) (tính chất)

 

Như vậy, đường tròn tâm K đường kính OO' có bán kính KM.

Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC \) (do BC là tiếp tuyến) \(⇒ OB // O'C.\)

⇒ Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\)

Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\)

Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. 

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved