Bài 43 trang 132 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm đối xứng \(O\), cạnh \(a.\) Một góc vuông \(xOy\) có tia \(Ox\) cắt cạnh \(AB\) tại \(E\), tia \(Oy\) cắt cạnh \(BC\) tại \(F\) (h.\(161\))

Tính diện tích tứ giác \(OEBF.\)

Lời giải chi tiết

Nối \(OA, OB\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\) và \(\widehat{AOB}=90^0\)

Ta có: \(\widehat {AOE} + \widehat {BOE}=\widehat{AOB}=90^0\)

\(\widehat{FOB}+\widehat{EOB}=\widehat{xOy}=90^0\)

Nên \(\widehat {AOE} = \widehat {BOF}\) (cùng phụ với \(\widehat {BOE}\))

Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta BOF\) có:

+) \(\widehat {AOE} = \widehat {BOF}\) (chứng minh trên)

+) \(OA = OB\) (\(O\) là tâm đối xứng của hình vuông)

+) \(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = {45^0}\) (tính chất hình vuông)

\( \Rightarrow ∆AOE = ∆BOF\, (g.c.g) \)

\( \Rightarrow {S_{AOE}} = {S_{BOF}}\)

Do đó  \({S_{OEBF}} = {S_{OEB}} + {S_{OBF}} \)\(= {S_{OEB}} + {S_{OAE}} = {S_{OAB}}\)

\({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD\)\(\, = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{1}{2}AC.BD} \right) = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\)

Vậy  \({S_{OEBF}} =\dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{4}{a^2}\)