Bài 44 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng MN cắt CD và BC lần lượt tại K và I.

Dễ thấy :

 \(\eqalign{  & CK = {3 \over 2}CD,CI = {3 \over 2}CB,  \cr  & d\left( {P,\left( {ABC} \right)} \right) = {1 \over 2}d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right).  \cr  &  \cr} \)

\({V_{P.CIK}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}CI.CK\sin \widehat {ICK} \) .\(d\left( {P,\left( {ABC} \right)} \right)\)

\( = {1 \over 3}.{1 \over 2}.{3 \over 2}CB.{3 \over 2}CD\sin \widehat {BCD} \) .\({1 \over 2}d\left( {S,(ABC)} \right)\)

=\({9 \over {16}}({1 \over 3}CB.CD\sin \widehat {BCD} \) .\(d\left( {S,({\rm{ABC)}}} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{P.CIK}} = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}}.\)

Ta có :

\(\eqalign{  & {{{V_{I.BEM}}} \over {{V_{I.CPK}}}} = {{IB} \over {IC}}.{{IE} \over {IP}}.{{IM} \over {IK}}\cr& = {1 \over 3}.{1 \over 2}.{1 \over 3} = {1 \over {18}}  \cr  &  \Rightarrow {V_{I.BEM}} = {1 \over {18}}{V_{I.CPK}} = {1 \over {18}}{V_{P.CIK}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}. \cr} \)

Tương tự , ta cũng có \({V_{K.NDF}} = {1 \over {18}}{V_{P.CIK}} = {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}.\)

Vậy nếu gọi V₂ là thể tích của phần khối chóp giới hạn bởi \(mp\left( {MNP} \right)\) với mặt phẳng đáy thì :

\(\eqalign{  & {V_2} = {V_{P.CIK}} - \left( {{V_{I.BEM}} + {V_{K.NDF}}} \right)  \cr  &  = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}} - \left( {{1 \over {32}}{V_{S.ABCD}} + {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}} \right)  \cr  &  = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}} - {1 \over {16}}{V_{S.ABCD}} = {1 \over 2}{V_{S.ABCD}}. \cr} \)

Vậy phần còn lại, tức là phần của khối chóp nằm trên \(mp\left( {MNP} \right)\), có thể tích V₁ cũng bằng \({1 \over 2}{V_{S.ABCD}}\).

Do đó V₁ = V₂.