Bài 45 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Lời giải chi tiết

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm một mình xong công việc trong \(x\) (ngày) và đội II làm một mình xong công việc trong \(y\) (ngày)
Điều kiện: \(x, y > 12\)

Như vậy, mỗi ngày đội I làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) công việc và đội II làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) công việc.

Hai đội cùng làm sẽ xong trong 12 ngày nên 1 ngày cả hai đội làm được \(\displaystyle {1 \over {12}}\) công việc. Ta có phương trình:

\(\displaystyle{1 \over x} + \displaystyle{1 \over y} = \displaystyle{1 \over {12}}(1)\)

Trong 8 ngày làm chung, cả hai đội làm được \(\left( \displaystyle{{8 \over x} + \displaystyle{8 \over y}} \right)\) công việc. Do năng suất gấp đôi nên đội II mỗi ngày làm được \(\displaystyle{2 \over y}\) công việc và làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày nên trong 3,5 ngày này đội II làm được \(3,5.\displaystyle{2 \over y} = \displaystyle{7 \over y}\) công việc. Ta có phương trình: 

\(\left( \displaystyle{{8 \over x} + \displaystyle{8 \over y}} \right)+\displaystyle{7 \over y}=1\Leftrightarrow \displaystyle{8 \over x} + \displaystyle{{15} \over y}=1 \, (2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{8}{x} + \dfrac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\)

Đặt: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = a\\
\dfrac{1}{y} = b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = \dfrac{1}{{12}}\\
8a + 15b = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}} - b\\
8\left( {\dfrac{1}{{12}} - b} \right) + 15b = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}} - b\\
\dfrac{2}{3} + 7b = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{21}}\\
b = \dfrac{1}{{21}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{28}}\\
b = \dfrac{1}{{21}}
\end{array} \right.\end{array}\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{28}}\\
\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{21}}
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 28\\
y = 21
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = 28\) (nhận) và \(y = 21\) (nhận)

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 28 ngày, đội II làm một mình xong công việc trong 21 ngày.