Bài 5 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và A’. Một cát tuyến qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại B và C. Vẽ hai đường thẳng song song lần lượt qua B, C và cắt (O) tại B’ và cắt (O’) tại C’. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Tứ giác ABB’A’ nội tiếp đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {AA'B'} + \widehat {ABB'} = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {AA'B'} = {180^0} - \widehat {ABB'}\).

Tứ giác ACC’A’ nội tiếp đường tròn (O’) \( \Rightarrow \widehat {AA'C'} + \widehat {ACC'} = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {AA'C'} = {180^0} - \widehat {ACC'}\).

\( \Rightarrow \widehat {AA'B'} + \widehat {AA'C'} = {180^0} - \widehat {ABB'} + {180^0} - \widehat {ACC'}\)\(\, = {360^0} - \left( {\widehat {ABB'} + \widehat {ACC'}} \right)\).

Vì BB’ // CC’ nên \(\widehat {ABB'} + \widehat {ACC'} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\( \Rightarrow \widehat {AA'B'} + \widehat {AA'C'} = {360^0} - {180^0} = {180^0} \) \(\Rightarrow \widehat {B'A'C'} = {180^0}\).

Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng.