Bài 5 trang 114 sgk Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng \((AB'C'D)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD'A')\);

b) Đường thẳng \(AC'\) vuông góc với mặt phẳng \((A'BD)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(AB' \bot \left( {BCD'A'} \right)\)

Sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì mọi mặt phẳng chứa nó đều vuông góc với mặt phẳng đã cho.

b) Chứng minh \(AC' \bot BD;\,\,AC' \bot A'D\)

Sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

a)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot BB'
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\)

\( \Rightarrow BC ⊥ AB'\);

\( \left\{ \begin{array}{l}
AB' \bot BC\\
AB' \bot BA'\\
BC \cap BA' = B\\
BC,BA' \subset \left( {BCD'A'} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow AB' \bot \left( {BCD'A'} \right)\)

Ta có \(AB' ⊂ (AB'C'D) \Rightarrow (AB'C'D) ⊥ (BCD'A')\)

b) +) \(AA'\bot(ABCD) \Rightarrow AA'\bot BD\)

Mà  \(BD\bot AC\Rightarrow BD\bot (ACC'A')\)

\(AC'\subset(ACC'A')\) nên suy ra \(BD\bot AC'\)    (1)

+) \(AB\bot (ADD'A')\Rightarrow AB\bot A'D \)

Mà \(AD'\bot  A'D\Rightarrow  A'D\bot (ABC'D')\)

Ta có \(AC'\subset (ABC'D')\Rightarrow A'D\bot AC'\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AC' ⊥ (A'BD)\).