Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

a) Tính thể tích của  theo \(α\) và \(R\).      

Phương pháp giải:

Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, \, \, MP\) và trục hoành.

+) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay   cần tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \) \(\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)

\( \Rightarrow \) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(y=x.\tan \alpha .\)

Mà \(O\) cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y=x.\tan \alpha .\)

Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx}  \\= \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha  \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\ = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right).\left( {dvtt} \right).\end{array}\)

Cách khác:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP = R\cos \alpha \\MP = R\sin \alpha \end{array} \right.\)

Khi quay tam giác \(OPM\) quanh trục \(Ox\) ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = MP = R\sin \alpha \) và chiều cao \(h = OP = R\cos \alpha \)

Thể tích khối nón là:

\(\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\
= \frac{1}{3}\pi {\left( {R\sin \alpha } \right)^2}.R\cos \alpha \\
= \frac{1}{3}\pi {R^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \\
= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\cos \alpha \\
= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right)
\end{array}\)

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Tính được thể tích của khối tròn xoay  theo \(\alpha.\) Khảo sát hàm số \(V=V(\alpha)\) để tìm thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(V (\alpha) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - co{s^3}\alpha } \right).\)

Đặt  \( t = \cos \alpha .\)

Với  \(\alpha  \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\)

Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\)  trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\)

Có:  \(V'\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \)

\(\Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi  \(t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \) \(\Leftrightarrow \alpha  = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy thể tích khối  lớn nhất khi \(\alpha  = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)