Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12

LG a

a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\).

Phương pháp giải:

+ Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\) và suy ra \(HB = HC = HD\).

+ Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn \(AH\).

Lời giải chi tiết:

Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mp \(BCD\)

Xét ba tam giác \(ABH, ACH\) và \(ADH\) có:

\(AB= AC = AD\) ( vì \(ABCD\) là tứ diện đều).

\(AH\) chung

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \widehat {AHD} = {90^0}\)

 \( \Rightarrow \Delta \,ABH = {\rm{ }}\Delta \,ACH\,{\rm{ =  }}\Delta \,ADH\) ( ch- cgv)

Suy ra, \(HB = HC = HD\) .

Vậy \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Do \(\Delta BCD\) đều nên \(BI  = BC\sin {60^0}= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \displaystyle \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);

Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : 

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\) \(\displaystyle={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {\displaystyle 2 \over 3}{a^2}\).

Vậy \(\displaystyle AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)

LG b

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(\displaystyle r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

\(\displaystyle S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).

Thể tích khối trụ là: \(\displaystyle V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)