Đề bài
Chứng minh rằng phương trình:
a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;
b) \(\cos x = x\) có nghiệm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét các hàm số vế trái của phương trình.
- Tìm hai điểm bất kì và tính tích các giá trị của hàm số tại hai điểm đó.
+ Nếu tích nhỏ hơn \(0\) thì ta kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng hai giá trị ấy.
+ Nếu tích lớn hơn \(0\) thì ta không kết luận gì và tìm giá trị khác để tính.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(f(x)=2x^3-6x + 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
\(f\left( 0 \right) = {2.0^3} - 6.0 + 1 = 1;\)
\(f\left( 1 \right) = {2.1^3} - 6.1 + 1 = - 3;\)
\(f\left( { - 2} \right) = 2.{\left( { - 2} \right)^3} - 6.\left( { - 2} \right) + 1 = - 3\)
+) \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = 1.\left( { - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_0 \in (0; 1)\).
+) \(f\left( 0 \right).f\left( -2 \right) = 1.\left( { - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_1 \in (-2; 0)\).
Mà \(\left( {0;1} \right) \cup \left( { - 2;0} \right) = \emptyset \Rightarrow x_0 \ne x_1 \Rightarrow \) phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.
b) \(\cos x = x \Leftrightarrow \cos x - x = 0\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \cos x - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
\(g\left( 0 \right) = \cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1;\)
\(g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2}\)
\(g\left( 0 \right).g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1.\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - \dfrac{\pi }{2} < 0\) nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \((0; \dfrac{\pi }{2})\).
CHƯƠNG VI - KHÚC XẠ ÁNH SÁNG
Bài 13: Hydrocarbon không no
Unit 10: Travel
CHƯƠNG 4. SINH SẢN
Chuyên đề 2. Chiến tranh và hòa bình trong thế kỉ XX
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11