Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.

Phương pháp giải:

Thay giá trị \(m=2\) vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

Lời giải chi tiết:

Khi \(m = 2\), ta có hàm số: \(\displaystyle y = {{x - 2} \over {x + 1}}\)

- Tập xác định: \((-∞; -1) ∪ (-1; +∞).\)

- Sự biến thiên: 

Ta có: \(\displaystyle y' = {3 \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \in ( - \infty , - 1) \cup (-1, + \infty )\) nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

- Hàm số không có cực trị

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  -1^- } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  -1^-  } {{x - 2} \over {x + 1}} = +\infty;\mathop {\lim }\limits_{x \to  -1^+ } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  -1^+ } {{x - 2} \over {x + 1}} = -\infty \)

\( \Rightarrow x = -1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1.\)

\(\Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = -2\), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = 2.\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ a ≠ -1.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=x_0\) có công thức: \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \(a≠-1\) có phương trình:  \(\displaystyle y = y'(a)(x - a) + y(a) = {3 \over {{{(a + 1)}^2}}}(x - a) + {{a - 2} \over {a + 1}}.\)