Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng \({a \over 2}.\)
LG a
Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của BC thì \(HI = {a \over 2} = SH.\)
Gọi J là trung điểm của SI thì \(HJ \bot SI,\) mặt khác \(HJ \bot BC\), vậy \(HJ \bot mp(SBC)\) đồng thời \(HJ = {{SI} \over 2} = {1 \over 2}.{a \over 2}\sqrt 2 = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\)
Tương tự, ta có khoảng cách từ H tới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}.\)
Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp S.ABCD.
LG b
Gọi (P) là mặt phẳng song song với mp(ABCD) và cách mp(ABCD) một khoảng x (0 < x < R). Gọi Std là diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để \({S_{td}} = \pi {R^2}.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi H1 là giao điểm của (P) và SH thì \(H{H_1} = x,0 < H{H_1} < R\) và thiết diện của hình chóp với (P) là hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\) Khi ấy
\({{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {\left( {{{{a \over 2} - x} \over {{a \over 2}}}} \right)^2} = {{{{\left( {a - 2x} \right)}^2}} \over {{a^2}}}.\)
Từ đó \({S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {(a - 2x)^2}.\)
Ta có (P) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi \({r^2} = {R^2} - {x^2}\) hay \({r^2} = {{{a^2}} \over 8} - {x^2} = {{{a^2} - 8{x^2}} \over 8},\) từ đó diện tích hình tròn thu được là \({1 \over 8}\pi \left( {{a^2} - 8{x^2}} \right).\)Vậy
\(\eqalign{ {S_{td}} &= {(a - 2x)^2} - {1 \over 8}\pi ({a^2} - 8{x^2}) \cr&= {1 \over 8}\left[ {8{{(a - 2x)}^2} - \pi ({a^2} - 8{x^2})} \right]. \cr & \cr} \)
Ta có
\(\eqalign{ & {S_{td}} = \pi {R^2} = {1 \over 8}\pi {a^2} \cr&\Leftrightarrow 8{(a - 2x)^2} - \pi {a^2} + 8\pi {x^2} = \pi {a^2} \cr & \Leftrightarrow 4\left[ {{{(a - 2x)}^2} + \pi {x^2}} \right] = \pi {a^2} \cr & \Leftrightarrow x = {{4a - \pi a} \over {8 + 2\pi }} \cr} \)
(vì \(0 < x < R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\)).
Đề kiểm tra 15 phút
Chương 4. POLIME VÀ VẬT LIỆU POLIME
Chương 2. Cacbohidrat
Bài 13. Thực hành: đọc bản đồ địa hình, điền vào lược đồ trống một số dãy núi và đỉnh núi
Unit 2. Urbanisation
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau